電位移矢量及其高斯定理

　　1、數學表達式
　　有介質存在時，高斯定理仍然成立。但在計算高斯面內包圍的電荷時，應包括自由電荷和極化電荷，即

而

兩式整理后，得

如果定義一點的電位移矢量為

則有

上式稱為有介質存在時的高斯定理。因為是電位移矢量的通量，所以它可以表述為：通過任一閉合曲面的電位移通量，等于包圍在該閉合面內自由電荷的代數和。

     2、關于定理的幾點說明
　�。�1）有介質存在時的高斯定理是更普遍的規律，它概括了真空中的高斯定理。
　�。�2）在的高斯定理中，和不直接出現，在電荷和介質分布具有一定對稱性的情況下，可以由自由電荷的分布，求出的分布。
　�。�3）高斯面上任一點的是由空間總的自由電荷的分布決定，不能認為只與面內自由電荷有關。 

　　2、與的關系
　　因為，

而 ，所以

三、應用舉例
　　半徑為的金屬球，電荷為 ，放在均勻無限大介質中，介質的介電常數為 。 求介質中的電場強度。

解：在金屬球外的介質中取一點，距球心的距離為。以為球心、為半徑作一同心球面為高斯面，則由介質中的高斯定理，得 電位移矢量

介質中的場強為

    若金屬球放在真空中，則場強為