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(1) 修正勞斯—胡爾維茨穩定判據 連續系統的勞斯—胡爾維茨穩定判據，是通過系統特征方程的系數及其符號來判斷系統的穩定性。這個方法實際上仍是判斷特征方程的根是否都在s平面的左半部。然而，在離散系統中，判斷系統的穩定性，是判斷系統特征方程的根是否全在z平面的單位圓內。因此，離散系統不能直接應用勞斯—胡爾維茨判據來分析穩定性。從理論上分析，利用關系式z=eTs，可以將z為變量的特征方程轉換為以s為變量的特征方程。但因為s在指數中，代換運算不方便。為此，必須引入另一種線性變換。將z平面單位圓內區域映射為另一平面上的左半部。這樣，就可以應用勞斯—胡爾維茨穩定判據來判斷離散系統的穩定性。為此，可采用雙線性變換方法進行判斷。 雙線性變換Ⅰ：  �。�1）式中w是復變量，由上式解得  �。�2）或采用雙線性變換Ⅱ：  �。�3）或寫成  �。�4）此時  �。�5）雙線性變換Ⅱ與雙線性變換Ⅰ一樣，可以將z平面的單位圓變換成w平面的虛軸。 令w平面的虛軸為  ，則w平面的左半平面為穩定區域，  為w平面的頻率，且由上式可知  其中  為s平面的頻率。此時，s平面、z平面以及w平面的關系為  圖1 s平面、z平面及w平面映射關系 當  較小時有  �。�6）即w平面的頻率近似于s平面的頻率。這是采用雙線性變換Ⅱ的優點之一。另外，雙線性變換Ⅱ也與下一章的雙線性變換一致，故建議使用雙線性變換Ⅱ。 通過z-w變換，就可以應用勞斯—胡爾維茨判據分析線性離散系統的穩定性。 胡爾維茨判據：由系統特征方程各系數組成的主行列式及其順序主子式全部為正。 該方法隨著系統階數的增加，計算會變得復雜。此時可以采用下面勞斯判據。 勞斯判據的要點是： �、� 對于特征方程  ，若系數 的符號不相同，則系統不穩定。若系數符號相同，建立勞斯行列表。�、� 建立勞斯列表  �、� 若勞斯行列表第一列各元素嚴格為正，則所有特征根均分布在左半平面，系統穩定。 �、� 若勞斯行列表第一列出現負數，系統不穩定。且第一列元素符號變化的次數，即右半平面上特征根個數。 〖例4.1〗 應用勞斯判據,討論圖2所示系統的穩定性，其中K=1，T=1s。  圖2 系統結構圖 解：由上一章可知，系統開環脈沖傳遞函數為  閉環脈沖傳遞函數為  系統特征方程為  (1) 如采用雙線性變換Ⅰ，即  ，則可得w平面的特征方程為 建立勞斯表 w2 2.632 0.632 w1 0.736 w0 0.632 由勞斯判據可知系統穩定。 (2) 如采用雙線性變換Ⅱ，即  ，則可得w平面的特征方程為 建立勞斯表 w2 0.658 0.632 w1 0.368 w0 0.632 由勞斯判據可知系統穩定。 采用修正勞斯-霍爾維茨判據的優點是把離散系統和連續系統的穩定性判據聯系起來了。把z平面變換為w平面的另一好處是可以采用分析連續系統的頻率法。缺點是要進行w變換，對于高階系統，這種變換是比較麻煩的。通常修正勞斯-霍爾維茨判據用來校驗用其他方法 判定的結果是否正確。 (2) 二次項特征方程穩定性的z域直接判別法 當離散系統的特征方程最高為二次項時，則不必進行w變換，也不必求其根。而是直接在z域判別其穩定性。 設系統的特征方程為 W(z)=z2+a1z+a0=0 （6） 式中，a1，a0均為實數。當滿足下列三個條件： �、� ｜W(0)｜=｜a0｜<1 �、� W(1)=1+a1+a0>0 �、� W(-1)=1-a1+a0>0 則系統是穩定的。 〖例1〗 在例中，設T=1s，試用z域直接判別法確定滿足系統穩定的K值范圍。 解：圖2所示系統的特征方程為  利用z域直接判別法的三個條件，有  第一個式子可解K<2.39，第二個式子可解K>0，第三個式子可解K<26.2。即滿足系統穩定的K值范圍為0<K<2.39。此結果與用勞斯判據給出的結果相同。 |
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GMT+8, 2021-12-6 20:44
